EXERCICE 1: Equation; Inéquation; Calcul intégral

1.   Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:  $\ln (x)+\ln (x-1)=\ln (x+3) \quad ; \quad 10^{2 x}+10^{x}-6=0$
2. Résoudre dans $] 0,+\infty[$ l'inéquation suivante :  $\ln (x) \cdot(2-\ln x)>0$
3.   a) Vérifier que pour tout réel $x \neq-1$ on a: $\frac{x^{3}}{x+1}=x^{2}-x+1-\frac{1}{x+1}$ 

b) Calculer l'intégrale $I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} d x$

c) En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale suivante $J=\int_{0}^{1} 3 x^{2} \ln (x+1) d x$